最大的素数是多少，最大的素数是多少位！

梅森质数可以光荣退休了

李联林

简介：本文介绍了梅森质数的发展历史及其在数论中的重要地位。简述了作者原创“9091”数系的目的、起源和作用，以及“9091”质数出现时的多种规律，并据此给出能够预测出极大质数，而且所需计算量极低的相关算法。仅仅是在介绍算法过程中举例给出的多个质数，就已远远超出人们历经千百年来费尽周折获知的最大梅森质数，而更大的质数又唾手可得，打破了数学界有关“质数的出现没有确定性规律”的共识。在文章的最后部分，进一步指出了这种创新理论体系在今后几十、甚至几百年期间，应该继续努力的六、七个研究方向。本文是一篇科普与论文相结合的文章，不是从事数学研究的朋友，完全可以不理会文中公式的推导过程，仅从哲学的角度读完文字部分，也可理解作者的立意。欢迎有兴趣的学者加入这个新的研究领域，形成中国自己的学术流派。

一、梅森质数的起源

结构形式为（2＾p－1），其中指数p是一个质（素）数的数值，被称为梅森数；当（2＾p－1）也是质数时，则被称为梅森质数，记为Mp。其实早在公元前三百多年，古希腊数学家欧几里得（数学家阿基米德老师的老师）就研究过这种质数，但更多的是讨论它与完全数之间的关系。此后，还有许多数学家对这种类型的质数作出了贡献。到了十七世纪，因为法国数学家马林·梅森对它进行了更加全面、深入的研究，为了纪念他的贡献，从此把这类质数称为梅森质数。

二、研究现状

虽然数论对于科学的直接应用相对较少，但正因为它是“纯数”，就要比数学的其它各大领域显得更难；正因为它的“清高”，才能够成为数学中的皇后。其中核心内容以及许多学者趋之若鹜、炙手可热的多个研究方向，都是从各种不同的角度，围绕着质数进行，例如至今未解的黎曼猜测、哥德巴赫猜测和孪生质数等问题。

质数的定义虽然貌似简单，但它是数中灵魂，对于数学家而言魅力无穷。显而易见寻找到更大的质数，自然而然就成为了数学界的一场“奥林匹克”竞赛，“没有最大、只有更大”。

长期以来，学者们一直是通过研究梅森质数来寻找更大的质数，别无它途。首先，是因为它易于表达。例如，已知最大的梅森质数M82589933，十进制位长为24,862,048，二千多万位的数值，打印出来需要二万多张***4纸，又有谁能看完呢？而梅森质数，只需要借助于一个公式，把与它位长有关的指数p写出来就行了。例如用M82589933，就代表着（2^82589933－1）那么大的数值。

其次，因为人们没能在自然数中找到质数出现时的规律性，而当梅森数中的p值不太大时，出现质数的概率又尚可，就寄希望换一个数系后，能够从中发现可以预测出更大质数的确定性规律。但是，至今所得甚微，只是在质数的间隔、密度、分布等方面略有所得。作者认为，这些发现远远不够，只能被称作是某种特点或者性质吧。从指数p中，寻找与质数出现时的关联性或者是规律，是一个显而易见的讨巧思路，但经过几百年来的努力，未有所得。所以学术界公认，质数的出现没有确定性规律。

因为没有发现质数出现时的规律性，而根据质数定理，密度却又将越来越稀疏，就只好大海捞针似地在众多数值中盲筛。这就好像是一场近、现代版的愚公移山，尽管已经持续了几百年，至今仍方兴不衰。你尽可以为人们对大自然不屈不挠的探索而感动，而我却能感受到其中的艰辛和无奈。

数学界从未有过哪一类的研究，能够那么多次给我们带来同样的惊喜；每当人们发现一个更大的质数，就像是科学界的一个盛大节日。1963年，美国伊利诺伊大学通过大型计算机找到第23个梅森质数时，全体师生感到无比骄傲，以致于把从系里发出的所有信件，都要敲上“2＾11213-1是个质数”的邮戳。美国广播公司甚至中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。2013年，美国中央密苏里大学发现的第48个梅森质数，还被英国《新科学家》周刊评为当年自然科学的十大突破之一。

总部设在美国的电子前沿基金会（EFF），为了鼓励找到更大的质数，曾宣布发现超过一亿位的梅森质数，奖金15万美元；超过十亿位数，25万美元。不过，没有一个数学家是为了奖金而去寻找更大的质数，而是为了满足他们对于大自然的好奇。在这个过程中，极大地推动了数学的发展。本文作者嘛，除此以外，略有不同，闲得慌；同时还想知道，若发现超过一千万亿位，不是梅森质数的质数，有奖金吗？

1996年，美国数学家和程序设计师乔治·奥特曼，编制了一个名为Prime95的梅森质数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的因特网梅森质数大搜索项目，简称GIMPS。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了“质数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。一个庞大的数据库记录着所有任务的分配情况，如果某个交回的计算报告，显示发现了一个新的梅森质数，还需要经过一个专门机构，用不同算法验证后才能被正式确认。

即使是这样，因为梅森质数分布得太稀疏了，距2018年第51个梅森质数被发现后，就没有新的进展。

三、为什么一直没能发现质数出现时的规律

在展开讨论之前，请读者先按照常识，回答这样一个问题：如果有无数多个箱子有序地摆放，但是只有其中极少数才藏有宝藏，假如你是一个“贪财”的数学家，那么是研究宝藏的分布密度以及大致范围重要呢？还是希望研究出一个方法，能够准确地指出哪些箱子中一定藏有宝藏更为重要呢？

类似的问题，几千年来也一直在困惑着数学家们。单个地看，甚至是左邻右舍成帮成对地去看，在正整数中，质数并没有显示出什么确定性的规律；可是从总体数量上看，却又是有规可循。如果说质数出现时都是没有规律，总会让人心有不甘。而且历朝历代，一定会有许多大师，都对质数的出现是否具有规律性，进行过研究，但仍一无所获，学术界才会产生“质数出现没有规律性”的共识；对于质数分布的研究，逐渐就成为了数论的中心问题。例如最近学术界讨论得火热，被定义为广义黎曼猜测反例的朗道-西格尔零点猜测，也与此有关。

之所以学术界公认“质数出现没有规律性”的观点，在一定前提条件下有情可原，是因为这种观点是建立在自然数和梅森数系上的。

作者认为这很正常：自然数系中囊括了所有的质数，目前的研究结果表明，其中大部分的质数确实是无章可循；但假如有某种有章可循类型的质数（包含的数量也可以任意多）掺杂在其中，当有规律的少部分质数和没有规律的大部分质数混淆在一起时，因为难以找到参照物进行总结归纳，当然也就找不到相互之间的因果关系或者是出现时的规律。

作者还认为：梅森质数只是自然数中的一部分或者是一种类型，但它是按照二进制来增值的，若能从这类质数中找出可用十进制公式表述出来的确定性规律，反而会令人感到诧异。所以，单纯地从寻找质数出现规律的角度上看，梅森数并不是一个好的载体。

明白了其中原委，作者也就可以认为“质数出现没有规律性”的观点是错的，是因为这种观点只是建立在自然数和梅森数系上的；如果换一个数系来研究质数，情况就将大为不同。下面将要给出原创的“9091”数系，目的就是为了过滤掉不相干的质数，只需要极少的计算量，就能够找到远远超过已知最大的梅森质数，很多个有规律性的“9091”质数。

自然界的神秘与魅力，就体现在这种有、无规律的对立统一之中。

四、“9091”数系及质数出现时的规律性

1）“9091”数系

“9091”数定义：

其最低位是91，高位上是成对的90，可以有任意多对，数值也就可以任意大；用Ll来表达，小写字母l（可称其为位数）代表数值中90的对数。例如，L1代表9091，L2代表909091，L8则代表着909090909090909091，…。Ll的位长为：2*l+2。

这是有别于梅森数的函数形式，按照特定数值结构来定义的一种数系。

2）“9091”质数

作者筛选了一千位长(l≤499)以下所有的“9091”数值，发现其中有八个质数:L1，L2，L8，L14，L25，L32，L145，L319。

3）“9091”质数有规律吗

能否发现“9091”质数出现时具有规律，并且可以应用这种确定性的规律来预测出更大、极大的质数，是本文能够成立的关键之处。

依据已知的质数，从各种角度寻找质数出现时是否具有某种规律，是最基本的方法。那么，“9091”质数的出现会有规律吗？显然有。在已知质数其中的某些质数相互之间，代表位长大小的位数l的数值结构，就有着清晰可见的关联性，并且寓意着具有同样位数结构形式的更大质数Ll，也有是个质数的可能性。

在已知八个质数的位数值当中，可以发现四种具有独特结构特点(随后再描述这种特点)的最小位数l，它们分别是，2，14，25和319。而且随着更加广泛地筛选，获知更多质数后，将来还会找到更多起始质数的位数值；而每一个起始位数l，遵循着某种规律，可以带引出来一系列同类的质数。

根据位数l的数值结构特点，可以总结、归纳出相对应的四种质数充分条件。其一是：受到已知L2，L8和L32同为质数的启发，可令l = 2^k，其中k = 1,3,5,7,…，这个位数增值规律公式，概括了这一类质数的位数值，2，8以及32之间已经客观存在的关联性，并且意味着后续还会出现一系列的位数值；然后再利用一种质数必要条件公式，p = 2*l+3，逐一计算、筛选这些位数值l，只有当p是质数时，才能够确定Ll是一个质数。这就是说，质数的必要条件公式与特定的位数增值规律公式（这可被视为是另外一种质数的必要条件）相结合，综合应用，相辅相成后形成了一种新型的质数充分条件。在寻找质数时，必要条件和充分条件之间的效率差别极大；必要条件只能告诉我们哪些数值可能是质数，而充分条件却能告诉我们哪些数值一定就是质数。

这样一来，就可以从起始质数L2，依据它的起始位数值2以及一个位数增值规律公式2^k（k = 3,5,7,…），获得一系列不断增大的位数值，再借助于质数必要条件公式对这些位数进行筛选即可，无需对“9091”数值的本身进行质性验证，直接就能推导出L8(当l = 2^3 = 8时，因为p = 2*8+3 = 11，是个质数，无需质性验证，即可直接判定L8也是质数)，L32(因为2^5 = 32，而p = 32*2+3 = 67，是个质数，即可判定L32也是质数)，L2048（因为2^7 = 128，而p = 2*128+3 = 259 = 7*37，不是质数，所以L128一定不是质数；又因2^9 = 512，而p = 2*512+3 = 1027，不是质数，所以L512也一定不是质数；而2^11 = 2048，p = 2*2048+3 = 4099，是个质数，即可判定L2048也是质数），类似步骤后还可得到，L32768（k=15），L131072（k=17），L134217728（k=27），L536870912(k=29)，…，都应是质数。其中L536870912，有十多亿位长，超出我们已知最大的梅森质数M82589933。

借鉴于上述讨论，有理由可以进一步猜测（有待于验证），只要起始质数的位数l是个偶数时，都会具有类似的规律性。这样，就可以得到第二种质数的充分条件:依据另外一个起始质数L14，因为l=14，起始位数值14也是一个偶数，用类似的位数增值规律公式，计算这种具有特定数值结构，位数14的奇次方，14^k，其中k = 3,5,7,…。当k=3，14^3 = 2744时，因为p = 2*2744+3 = 5491 = 17*323，是一个合数，因此可以推断L2744必然不是质数。发现当14^5 = 537824时，因为，p = 2*537824+3 = 1075651，是个质数，从而可以推断L537824也是个质数。持续下去，还能找到更多同类质数。

根据已知计算结果，如果某个起始“9091”质数Ll，当它的位数值l是个奇数时，结构形式通常为，l = 1+a*6，其中a是个不能被6整除的常数。例如质数L25，l = 25 = 1+4*6，其中a=4；另外一个起始质数L319，则有l = 319 = 1+53*6，其中a=53。因为知道还有一个质数是L145，而奇数145 = 1+4*6*6，显然145与25的数值结构之间，存在着某种关联性（另外一种位数增值规律公式），可视作它们属于同一类的质数。因此可以作出猜测：如果某个起始质数的l值是个奇数，l = 1+a*6，当p = 2（1+a*6^k）+3，其中k = 2,3,4,…，是质数时，那么L（1+a*6^k），也是同类质数。

这样，就可以得到第三种质数充分条件。依据起始质数L25和一个位数增值规律公式，l = 1+4*6^k，其中k = 2,3,4,…；再用质数必要条件公式，从中筛选出合适的位数数值。发现当l = 1+4*6*6*6 = 865时，因为p = 2*865+3 = 1733，是个质数，即可推断L865也是个质数。持续类似的计算过程，即可得到更多的同类质数：L145（k=2），L865（k=3），L11284439629825（k=16），…。其中L11284439629825，已有二十多万亿位的长度。

受到第三种质数充分条件的启发，又可以作出类似的猜测:依据另外一个起始质数L319，因为奇数319 = 1+53*6，那么位数增值规律公式应为，l = 1+53*6^k，其中k = 2,3,4,…；仍然是把这些数值，逐一代入进质数必要条件公式中去，P = 2*l+3，通过判断P是不是质数，也能够找出一些很大的质数Ll。例如，L1909(因为，l = 1+53*6*6 = 1909，而p = 2*1909+3 = 3821，是一个质数)，L11449(因为，l = 1+53*6*6*6 = 11449，而p = 2*11449+3 = 22901，是一个质数)，L2472769（k=6），L14836609（k=7），L897112950571009（k=17），…。

其中L897112950571009，更有一千多万亿位的长度，要想把它打印出来，恐怕全世界所有的纸张都不够用。还可以继续用“箱中寻宝”的例子打比方，来理解本文算法的积极意义：假如有无数个箱子有序排列，我们想要尽快而且尽可能多地找出其中只有极少数箱子才藏有的宝藏；当你满头大汗逐一翻找时，我说其中第897112950571009号箱子中有，你信还是不信？其实回答应该很简单，反正宝藏也不好找，别管信不信，先翻出来看看，真的有，俺就信。

4）算法总结

上述讨论算法的全过程，被概括、总结如下:首先筛选出一批“9091”质数Ll，从中挑出最小，而且具有独特结构特点的起始位数l。如果位数是个偶数(例如2和14)，目前知其结构应是(2*b)的形式，其中b是一个奇数（不同的奇数b，寓意着不同种类的质数)，持续计算它的奇次方，(2*b)^k，其中k = 3,5,7,…，作为新的位数l；如果位数是个奇数(例如25和319)，目前知其结构应是(1+a*6)的形式，其中a是某个不能被6整除的常数（不同的常数a，同样寓意着不同种类的质数)，持续计算，l = 1+ a*6^k，其中k = 2,3,4,…，同样作为新的位数l；只要分别把这些新的位数值l，代入到一个质数的必要条件公式中去，如果p = 2*l+3，是个质数，那么就可以得到与l相对应的，新的更大“9091”质数Ll。

这就是说可以“以小博大”，不再需要盲目地对于越来越多、越来越大梅森数值的本身进行质性筛选，而是只对相对很小的“9091”数的位数值l进行筛选即可；新算法的计算量极少极少，是一种革命。作者只是在授之以渔的过程中，就得到了许多远大于已知最大梅森质数的质数；而更大的“鱼”，随时唾手可得。因此，梅森质数可以退休了。

人们很快就会发现对于找到的越来越大的“9091”质数，仅用位数l来表达又将不堪其大，进一步用k值来表达倒是可以；可是质数的种类有那么多，怎么比对出不同种类质数的大小也是一件麻烦事。

5）起始质数及起始位数

在上述讨论中，起始质数及其起始位数的概念很重要，它是从客观存在的事物中筛选、总结出来的，目前尚未找到起始质数出现时的确定性规律。起始质数，就像是一大队同类质数的排头兵。

仅凭着一个质数必要条件公式，找到的并不全都是质数，只是能够排除一些合数，使得“9091”数值中出现质数的概率提高了一些而已。例如，当l = 3时，p = 2*l+3 = 9，因为p是一个合数，可以直接判定L3不是一个质数；但是当l = 4时，p = 2*l+3 = 11，虽然p是一个质数，但L4却不是一个（起始）质数。

根据已知质数之间的关联性，由起始位数起，总结后得出的位数增值规律公式，刚好就能够把既满足了质数必要条件公式，但又不是质数的那些数值排除掉。换句话说，只要某个Ll不是起始质数，位数值也不在位数增值规律公式之中，那么任何一个“9091”数值都不会是质数。

不过，起始质数中起始位数l的数值结构特征，还需要得到进一步的确认。例如，已知L85是一个合数，85 = 1+14*6，但是，p = 2*85+3 = 173，却是一个质数；而位数结构与其有关联性的下一个l值，即，l = 1+14*6*6 = 505，p = 2*505+3 = 1013，还是一个质数，那么，L505是一个质数吗？如果不是，甚好；如果是，对于起始位数结构形式(1+a*6)中，常数a不能被6整除的表述，就应该被适当修改，但是对于理论体系的核心内容（“9091”质数的出现可有规律性）表述无碍。

6）为什么“9091”质数会有规律可循

作者认为主要有如下几点。

作者曾经是个工程师，对于数论只是略知零点一、二；但直觉告诉我，既然那么些年过去了，又有那么多优秀数学家都没有找到质数出现时的规律，咱就别觉得自己会更加聪明，非要跟在专家的后面赛跑，试图弯道超车。因为机缘巧合，选择在自创的“9091”数系下研究质数，最终实现的却是换道超越。

起源是在研究有理数的循环周期时，发现“9091”类型的数值，无论是不是质数，倒数小数点后面的循环周期长度始终较小，并与位长成比例地增长（大多数质数的循环周期，都比较长）。例如：l = 1时，1/9091 = 0.0001099989…，循环周期长度只有，c = 4*l+6 = 10；l = 2时，1/909091 = 0.00000109999989…，循环周期长度的公式仍然不变，c = 4*l+6 = 14；l = 3时，1/90909091 = 0.000000010999999989…，c = 4*3+6 = 18；…。这时，就对公式（4*l+6），产生了初步的印象。后来当发现“9091”数系中，既有合数也存在质数时，就猜测或许会赋予其中某些质数的位长之间具有某种关联性。

换个角度还可以这么说，因为“9091”数的定义，只允许“9091”类型的质数存在其中，非我族类莫入，这就相当于是对众多与其无关联性质数的一种过滤。方法虽然显得简单粗暴，效果却是一目了然。所谓的授之以渔，方法的第一步就是要使得水至清而鱼现；发现第一步方法时靠的是灵感，下一步的研究就要靠功力了。

筛选了一千位长以下所有的“9091”数值后，突然发现一个普遍的现象：只要当p = 2*l+3，是一个合数时，所对应的Ll必然是一个合数，因此这个公式可以成为“9091”合数的充分条件；只要某个Ll是个质数，p就必然是一个质数，但是反过来，当p是一个质数时，所对应的Ll却又不一定都是质数，所以这个公式，还可以成为“9091”质数的必要但不充分的条件。如果把质数的这种必要条件公式，与客观存在的另外一种质数的必要条件，由某类起始位数l而起的增值规律公式，结合起来综合应用，就形成了一种新颖的质数充分条件。这种只需要对“9091”数的位数l进行筛选的质数充分条件，威力太大了，可以避免像常规算法那样，要对越来越多极大数值的质性，进行大海捞针一般地筛选计算。

五、进一步工作方向

创立出一个新方法，解决了一个老问题，但是这种新理论却又带引出来更多的问题。找不到时愁，找到了还是愁，这就是大自然的神秘之处。

1）本文给出的质数充分条件，已经在一千位长的“9091”数值当中被确认无疑，既没有漏掉一个质数，也未误判一个合数。表面上看，一个亿才是个九位数值，那么一千位长的数值就会显得挺大，其实还远远不够。如果能够筛选出更多、更大的“9091”质数（以现在科学技术发展的水平，用大型计算机做到这一点并不难，希望有条件的学者能够去做，形成中国自己的学术流派），既可以更加充分地验证根据质数规律预测出来的质数是否正确（存在反例吗？概率是多少？），又可以发现更多的起始质数。目前并不清楚，一共有多少种类的“9091”质数。但作者相信，筛选出更多的“9091”质数以后，哪怕是在只有一万位长的所有“9091”数中，就能够发现更多的起始质数。或许最终可以证实，“9091”质数的种类可有无数种。

总结、归纳、猜测并反复进行验证，最终形成某些结论，是这种理论建立初期的必要过程。

2）如何证明“9091”质数可以无穷大？

3）在更深的层次中，某类质数中k值的出现会有规律吗？

4）“9091”质数的密度公式、质数定理是什么样？

5）除了L1和L2以外，连续l值的“9091”孪生质数存在吗？

6）“9091”类型的质数会有同伴吗？或者说，“9901”质数也有类似的规律吗？希望***I技术能对此有所帮助。

更多内容，请详见在今日头条上公布的“9091合数的充分条件与质数的必要、充分条件”，“结构数论及更大质数的发掘”等文。

六、梅森质数即将退去

梅森质数终将退去，它在夕阳中留下的背影，展现出来的是昔日王者荣耀；人们不会忘记它曾给我们带来的惊喜，感谢千百年来在探索大自然的崎岖道路上，一路有你。

注：作者的研究成果大多属于原创类型，无法给出参考文献，深知因此不可能通过现代论文评审体系。除去很多年前发表的几篇论文以外，不再向学刊投稿，反正也不图职称；又自觉还有一眼，就选择在公众平台上公布，请历史做出评判吧。

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